AB实验人群定向HTE模型4

Hetergeneous Treatment Effect旨在量化实验对不同人群的差异影响,进而通过人群定向/数值策略的方式进行差异化实验,或者对实验进行调整。Double Machine Learning把Treatment作为特征,通过估计特征对目标的影响来计算实验的差异效果。

Machine Learning擅长给出精准的预测,而经济学更注重特征对目标影响的无偏估计。DML把经济学的方法和机器学习相结合,在经济学框架下用任意的ML模型给出特征对目标影响的无偏估计

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核心论文

V. Chernozhukov, D. Chetverikov, M. Demirer, E. Duflo, C. Hansen, and a. W. Newey. Double Machine Learning for Treatment and Causal Parameters. ArXiv e-prints 文章链接

背景

HTE问题可以用以下的notation进行简单的抽象

\[\begin{align} Y &= \theta(x) T + g(X) + \epsilon &\text{where }E(\epsilon |T,X) = 0 \\ T &= f(X) + \eta &\text{where } E(\eta|X) = 0 \\ \end{align} \]

最直接的方法就是用X和T一起对Y建模,直接估计\(\theta(x)\)。但这样估计出的\(\theta(x)\)往往是有偏的,偏差部分来自于对样本的过拟合,部分来自于\(\hat{g(X)}\)估计的偏差,假定\(\theta_0\)是参数的真实值,则偏差如下

\[\sqrt{n}(\hat{\theta}-\theta_0) = (\frac{1}{n}\sum{T_i^2})^{-1}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{T_iU_i} +(\frac{1}{n}\sum{T_i^2})^{-1}(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{T_i(g(x_i) -\hat{g(x_i)})}) \]

DML模型

DML模型分为以下三个步骤

步骤一. 用任意ML模型拟合Y和T得到残差\(\tilde{Y},\tilde{T}\)

\[\begin{align} \tilde{Y} &= Y - l(x) &\text{ where } l(x) = E(Y|x)\\ \tilde{T} &= T - m(x) &\text{ where } m(x) = E(T|x)\\ \end{align} \]

步骤二. 对\(\tilde{Y},\tilde{T}\)用任意ML模型拟合\(\hat{\theta}\)

\(\theta(X)\)的拟合可以是参数模型也可以是非参数模型,参数模型可以直接拟合。而非参数模型因为只接受输入和输出所以需要再做如下变换,模型Target变为\(\frac{\tilde{Y}}{\tilde{T}}\), 样本权重为\(\tilde{T}^2\)

\[\begin{align} & \tilde{Y} = \theta(x)\tilde{T} + \epsilon \\ & argmin E[(\tilde{Y} - \theta(x) \cdot \tilde{T} )^2]\\ &E[(\tilde{Y} - \theta(x) \cdot \tilde{T} )^2] = E(\tilde{T}^2(\frac{\tilde{Y}}{\tilde{T}} - \theta(x))^2) \end{align} \]

步骤三. Cross-fitting

DML保证估计无偏很重要的一步就是Cross-fitting,用来降低overfitting带来的估计偏差。先把总样本分成两份:样本1,样本2。先用样本1估计残差,样本2估计\(\hat{\theta}^1\),再用样本2估计残差,样本1估计$ \hat{\theta}^2$,取平均得到最终的估计。当然也可以进一步使用K-Fold来增加估计的稳健性。

\[\begin{align} sample_1, sample_2 &= \text{sample_split} \\ \theta &= \hat{\theta}^1 + \hat{\theta}^2 \\ \end{align} \]

Jonas在他的博客里比较了不使用DML,使用DML但是不用Cross-fitting,以及使用Cross-fitting的估计效果如下

从GMM的角度来理解

Generalized Method of Moments广义矩估计 (GMM)在经济学领域用的更多,在论文里乍一看到moment condition琢磨半天也没想起来,索性在这里简单的回顾下GMM的内容。

啥是矩估计呢?可以简单理解是用样本的分布特征来估计总计分布,分布特征由\(E((x-a)^K)\),样本的K阶矩来抽象,一阶矩就是均值,二阶原点矩就是方差。举几个例子吧~

例如,总体样本服从\(N(\mu, \sigma^2)\)就有两个参数需要估计,那么就需要两个方程来解两个未知数,既一阶矩条件\(\sum{x_i}-\mu=0\)和二阶矩条件\(\sum{x_i^2} - \mu^2 - \sigma^2=0\)

再例如OLS,\(Y=\beta X\)可以用最小二乘法来求解\(argmin (Y-\beta X)^2\),但同样可以用矩估计来求解\(E(X(Y-\beta X))=0\)。实则最小二乘只是GMM的一个特例。

那针对HTE问题,我们应该选择什么样的矩条件来估计\(\theta\)呢?
直接估计\(\theta\)的矩条件如下
\(E(T(Y-T\theta_0-\hat{g_0(x)}))=0\)
DML基于残差估计的矩条件如下
\(E([(Y-E(Y|X))-(T-E(T|X))\theta_0](T-E(T|X)))=0\)

作者指出DML的矩条件服从Neyman orthogonality条件,因此即便\(g(x)\)估计有偏,依旧可以得到无偏的\(\theta\)的估计。


参考材料&开源代码

  1. V. Chernozhukov, M. Goldman, V. Semenova, and M. Taddy. Orthogonal Machine Learning for Demand Estimation: High Dimensional Causal Inference in Dynamic Panels. ArXiv e-prints, December 2017.
  2. V. Chernozhukov, D. Nekipelov, V. Semenova, and V. Syrgkanis. Two-Stage Estimation with a High-Dimensional Second Stage. 2018.
  3. Microsoft 因果推理开源代码 EconML
  4. Double Machine Learning 开源代码 MLInference
  5. https://www.linkedin.com/pulse/double-machine-learning-approximately-unbiased-jonas-vetterle/
  6. https://www.zhihu.com/question/41312883

AB实验人群定向HTE模型4

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